Линейная алгебра Примеры

[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = определитель (A - λ I_{2})

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 2

Единичная матрица размера

2

$2$ представляет собой квадратную матрицу

2 \times 2

$2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в

p (λ) = определитель (A - λ I_{2})

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим

[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ вместо

A

$A$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 3.2

Подставим

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим

- λ

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим

0

$0$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим

0

$0$ на

λ

$λ$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим

0

$0$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим

0

$0$ на

λ

$λ$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим

3

$3$ и

0

$0$ .

p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (2 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = (2 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Развернем

(2 - λ) (2 - λ)

$(2 - λ) (2 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

p (λ) = 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

p (λ) = 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.1.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

p (λ) = 4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.1.3

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.1.5

Умножим

λ

$λ$ на

λ

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.5.1

Перенесем

λ

$λ$ .

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.1.5.2

Умножим

λ

$λ$ на

λ

$λ$ .

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.1.6

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.1.7

Умножим

λ^{2}

$λ^{2}$ на

1

$1$ .

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.2.2

Вычтем

2 λ

$2 λ$ из

- 2 λ

$- 2 λ$ .

p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.3

Умножим

- 3

$- 3$ на

1

$1$ .

p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3$

p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3$

Этап 5.2.2

Вычтем

3

$3$ из

4

$4$ .

p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 1

$p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 1$

Этап 5.2.3

Изменим порядок

- 4 λ

$- 4 λ$ и

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным

0

$0$ , чтобы найти собственные значения

λ

$λ$ .

λ^{2} - 4 λ + 1 = 0

$λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$

Этап 7

Решим относительно

λ

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2

Подставим значения

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 4

$b = - 4$ и

c = 1

$c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

λ

$λ$ .

\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Возведем

- 4

$- 4$ в степень

2

$2$ .

λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2

Умножим

- 4 \cdot 1 \cdot 1

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.3

Вычтем

4

$4$ из

16

$16$ .

λ = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.4

Перепишем

12

$12$ в виде

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.4.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

12

$12$ .

λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.4.2

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.3.3

Упростим

\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

λ = 2 \pm \sqrt{3}

$λ = 2 \pm \sqrt{3}$

λ = 2 \pm \sqrt{3}

$λ = 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 7.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

λ = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots

$λ = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$